|
Bu kitabın amacı belli bir ölçüde
diferansiyel denklemler konusunda kaynak ihtiyacını karşılamaktır.
Kitap, klasik diferansiyel denklemler teorisinin büyük bir kısmını
sistematik bir şekilde kapsamaktadır. Kitap 11 bölümden oluşmaktadır:
Birinci bölümde “Diferansiyel denklem
nedir, nasıl ortaya çıkar ve bir diferansiyel denklemi çözmek ne anlama
gelmektedir?” gibi temel konular ele alınmaktadır. Bu bölüm geri kalan
bölümlerin de temelini oluşturduğundan, bu bölümün çok dikkatle
okunmasında yarar görmekteyiz.
İkinci bölümde mühendislik dallarında ve
bazı fiziksel uygulamalarda karşımıza çıkan ve elemanter yöntemlerle
çözülebilen diferansiyel denklemler sınıfı ele alınmıştır. Bu
denklemlerin çözüm yöntemleri farklı zamanlarda ve farklı matematikçiler
tarafından geliştirilmiştir. Sözü geçen metodları pekiştirmek için
okurun bölümün sonunda verilmiş soruları çözmesinde yarar vardır.
Üçüncü bölümde türeve göre çözülmemiş
diferansiyel denklemler ele alınmaktadır. Bu sınıftan olan denklemler
günümüzde de geniş araştırmalara konu olmasına rağmen mühendislik bilim
dallarında pek görülmemektedir. Mühendislik bölümü öğrencileri bu bölümü
atlayabilirler.
Dördüncü bölümde yüksek mertebeden değişken
ve sabit katsayılı lineer denklemler ele alınmıştır. Bu sınıftan olan
denklemler klasik teorinin en gelişmiş ve tamamlanmış bölümünü
oluşturmasının yanısıra istisnasız olarak bütün mühendislik ve doğa
bilim dallarında ortaya çıkmaktadır.
Beşinci bölüm ikinci mertebeden homojen
lineer denklemlere ve bu denklemlerin kuvvet serileri yöntemiyle
çözümüne hasredilmiştir. Bu bölümde regüler ve tekil nokta kavramları
tanımlanmış ve Frobenius yöntemi ele alınmıştır. Bu yöntem aslında
yüksek mertebeden olan lineer denklemler için de geçerlidir. Fakat
bölümü fazla teknik ayrıntılarla ağırlaştırmamak için yöntem ikinci
mertebeden olan denklemler üzerinde açıklanmıştır.
Altıncı bölümde Sturm – Liouville sınır
değer problemi ve Green fonksiyonu ele alınmıştır. Bu türden olan
problemler fizik ve matematiğin farklı dallarında karşımıza çıkmaktadır.
Modern matematiğin pek çok kavramının kökleri bu problemden
kaynaklanmaktadır. Bölümde, bu problemin mantıksal devamı olan fakat
geleneksel diferansiyel denklemler kitaplarında yer almayan Hilbert –
Schmidt teoremine yer verilmesi uygun görülmüştür.
Yedinci bölümde özel fonksiyonlar konusu
ele alınmıştır. Bu fonksiyonlar, neredeyse, bütün teknik, fizik ve
matematik bilim dallarında meydana çıkan diferansiyel denklemleri
çözerken karşılaşılan standart fonksiyonlardır. Bölümde, bu
fonksiyonlara ilişkin teori, ileri mühendislik konularında ortaya
çıkacak ihtiyacı karşılayacak seviyede verilmiştir.
Sekizinci ve dokuzuncu bölümlerde değişken
ve sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem sistemleri ele
alınmıştır. Bu türden olan denklemlerin genel teorisi, yüksek mertebeden
lineer denklemlerin genel teorisiyle önemli bir benzerlik göstermektedir
ve büyük ölçüde lineer cebir yöntemlerine dayanmaktadır. Bu nedenle
dokuzuncu bölümde lineer cebir ile ilişkili bazı kavramların
hatırlatılması uygun görülmüştür. Bu kavramları bilen okur, dokuzuncu
bölümü incelerken hemen 9.3 ayrıtından başlayabilir.
Onuncu bölümde Laplace dönüşümü ve
uygulamaları ele alınmıştır. Laplace dönüşümü mühendislik bilim
dallarında meydana çıkan hemen hemen tüm sabit katsayılı diferansiyel
denklemlere ilişkin başlangıç değer problemlerini çözmek için kullanılan
bir yöntem olmasının yanısıra fizik ve matematikte de önemli
uygulamalara sahiptir. Bir çok elemanter fonksiyonun Laplace dönüşümünün
hesaplanması algoritmik karakter taşıdığı için, okurun bölümün sonunda
verilmiş problemleri çözmesinde büyük yarar görüyoruz.
Onbirinci bölüm diferansiyel denklemlerin
nitel teorisine hasredilmiştir. Gerek pratikte gerekse teoride meydana
çıkan bir çok diferansiyel denklem elemanter yöntemlerle
çözülememektedir ve çoğu kez buna ihtiyaç da duyulmamaktadır. Bu türlü
problemlerde önemli olan zamanın büyük değerleri için çözümün
davranışıdır, başka bir değişle çözümün asimptotik özellikleridir.
Denklemi çözmeden çözümlerin özelliklerinin incelenmesi nitel teorinin
konularından birisidir. Günümüzde modern diferansiyel denklemler
teorisi, büyük ölçüde nitel teori karakteri taşımaktadır. Bu bölüm nitel
teoriye giriş niteliğindedir ve ilgili okura daha ileri düzeydeki
kitaplara başvurması tavsiye edilmektedir.
Yukarıda söylendiği gibi kitap büyük ölçüde
klasik diferansiyel denklemler teorisinin (sayısal yöntemlerin dışında)
büyük bir kısmını kapsamaktadır. Bu nedenle bu kitabı temel alarak ders
programını hazırlayan öğretim elemanı ve öğrencilerimizin aşağıdaki
hususları dikkate almalarında yarar görmekteyiz.
Mühendislik bölümü öğrencilerine birinci
bölümün (1.7 ayrıtı hariç), ikinci bölümün (2.8 ayrıtı hariç) dördüncü
bölümün (4.10 ayrıtı hariç), dokuz ve onuncu bölümlerin verilmesi uygun
görülmektedir. Fizik bölümü öğrencileri üçüncü ve onbirinci bölümün
dışındaki bütün bölümleri, ciddi bir matematik eğitimi almak isteyen
matematik ve yüksek lisans öğrencileri ise kitabın bütün bölümlerini
öğrenmek zorundadır.
Kitapta öğrencinin konuyu berrak bir
biçimde anlamasını kolaylaştıracak toplam 128 çözümlü örnek verilmiştir.
Bölüm sonlarına, okuyucunun öğrendiklerini pekiştirmesine imkan sağlamak
amacı ile beşyüzün üzerinde problem konmuştur. Okuyucunun kendini
sınaması amacıyla, bu problemlerin büyük bir kısmının sonuçları kitabın
sonunda toplu halde verilmiştir.
İÇİNDEKİLER
ÖNSÖZ
Bölüm 1. Temel
Kavramlar ve Tanımlar
1.0.
Bölümün Amacı
1.1.
n’ci
mertebeden Adi Diferansiyel Denklemin Tanımı
1.2.
Diferansiyel Denklemlerin Oluşturulması
1.3.
Türeve Göre Çözülmüş Denklemler
1.4.
Diferansiyel Denklemlerin Çözümü
1.5.
İzoklin.
(1.13)
Denkleminin Geometrik Yorumu
1.6.
Başlangıç Değer Problemi
1.7.
Genel, Özel ve Tekil Çözüm
Birinci Bölüme Ait Problemler
Bölüm 2. Belirsiz
İntegrale Dönüştürülebilir 1.
Mertebeden
Dif. Denklemler Sınıfı
2.0.
Bölümün Amacı
2.1.
Sağ Tarafı Değişkenlerden Birini İçermeyen Denklemler
2.2.
Değişkenlerine Ayrılabilir Denklemler
2.3.
Homojen Diferansiyel Denklemler
2.4.
Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
2.5.
Bernoulli Denklemi
2.6.
Tam Diferansiyel Denklemler
2.7.
İntegrasyon
(Euler)
Çarpanı
2.8.
Riccati Denklemi
İkinci Bölüme Ait Problemler
Bölüm 3. BIrinci
Mertebeden Türeve Göre Çözülmemiş
Denklemler
3.0.
Bölümün Amacı
3.1.
Türeve Göre Çözülmemiş Denklemlerin Geometrik Yorumu
3.2.
Tüm Olmayan Denklemler
3.3.
Denkleminin Parametre Yardımıyla Çözümü
3.4.
Lagrange Denklemi
3.5.
Clairaut Denklemi ve Legendre Dönüşümü
Üçüncü Bölüme Ait Problemler
Bölüm 4.
Yüksek Mertebeden Dif. Denklemler Lineer
Denklemlerin Genel Teorisi
4.0.
Bölümün Amacı
4.1. Yüksek Mertebeden
Denklemler İçin Bazı Kavramlar
4.2.
Yüksek Mertebeden Denklemler İçin Cauchy Problemi
4.3.
Yüksek Mertebeden Denklemler İçin Sınır Değer Problemi
4.4. Yüksek Mertebeden
Lineer Diferansiyel Denklemler
4.5. Bir
Fonksiyonlar Sistemine İlişkin Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık
Kavramları
4.6.
Homojen Lineer Denklemin Genel Çözümü
4.7.
Homojen Olmayan Lineer Denklemin Genel Çözümünün Yapısı
4.8.
Sabit Katsayılı Lineer Denklemlerin Genel Teorisi
4.9. Bilinmeyen Katsayıları
Yöntemi
4.10. Euler - Cauchy Denklemi
Dördüncü Bölüme Ait Ek Bilgiler Ve Problemler
Bölüm 5. İkinci
Mertebeden Homojen Lineer Dif.
Denklemler -
Frobenius Yöntemi
5.0. Bölümün Amacı
5.1.
İkinci Mertebeden Lineer Denklemler Üzerinde Bazı Dönüşümler
5.2. İkinci
Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemin Kuvvet Serisi Yardımıyla Çözümü
5.3. Tekil Noktaların Civarında
Çözümün Kuvvet Serisine Açılımı - Frobenius Yöntemi
Beşinci Bölüme Ait Ek Bilgiler Ve Problemler
Bölüm 6. Sturm-Liouville
Sınır Değer Problemi
- Green Fonksiyonu
6.0. Bölümün Amacı
6.1. Sturm-Liouville
Problemi
6.2.
Sturm-Liouville Teoremi
6.3.
Green Fonksiyonu - Hilbert ve Schmidt
Teoremi
Altıncı Bölüme Ait
Problemler
Bölüm 7.
Özel Fonksiyonlar
7.0.
Bölümün Amacı
7.1.
Özel Fonksiyonlar
7.2.
Bessel Denklemi
7.3.
Bessel Fonksiyonlarının Bazı Özel Halleri
7.4.
Tam İndisli Bessel Fonksiyonları İçin Türetici Fonk. ve
Bessel Fonk. İntegral Şeklinde Gösterilmesi
7.5.
Bessel Denklemi İçin Sınır Değer Problemi
7.6.
Legendre Denklemi ve Legendre Polinomları
7.7.
Legendre Polinomlarının Dikliği
7.8.
Legendre Polinomları İçin Türetici Fonksiyon ve
Rekurans Bağıntılar
7.9.
Legendre Polinomlarının İntegral Gösterimi
7.10.
Hermite Fonksiyonları
7.11.
Hermite Polinomları İçin Türetici Fonksiyon ve
Rekurans Bağıntılar
7.12.
Hermite Polinomlarının Dikliği
7.13.
Çebışev-Laguerre Polinomları
7.14.
Çebışev-Laguerre Polinomları İçin Rekurans Bağıntılar
7.15.
Çebışev-Laguerre Polinomlarının Dikliği
Yedinci Bölüme Ait Problemler
Bölüm 8.
diferansiyel
Denklem Sistemleri
8.0.
Bölümün Amacı
8.1.
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklem Sistemi
8.2.
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklem Sisteminin
Vektörel Yorumu
8.3.
Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri
8.4.
Lineer Sistemlerin Bazı Özellikleri. Fonksiyon Sisteminin
Lineer Bağımsızlığı Kavramı
8.5.
Homojen Lineer Diferansiyel Sisteminin Temel Çözüm Sistemi
8.6.
Homojen Olmayan Lineer Denklem Sistemi
Sekizinci Bölüme Ait Problemler
Bölüm 9.
Lineer
Diferansiyel Denklemler Sistemi
9.0
Bölümün Amacı
9.1.
Birinci Mertebeden Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel
Denklemler
Sistemi
9.2.
Karakteristik Denklem. Özdeğer, Özvektör ve Ek Vektörler
9.3.
Sabit Katsayılı Lineer Diferansiyel Denklemler Sisteminin
Genel Çözümünün Bulunması
9.4.
Üstel Matris. Sabit Katsayılı Lineer Sistemlerin
Temel Çözümler Sistemi
9.5.
Homojen Olmayan Sabit Katsayılı Lineer Denklemler Sistemi
Dokuzuncu Bölüme Ait Problemler
Bölüm 10. Laplace
Dönüşümü
10.0.
Bölümün Amacı
10.1.
Laplace Dönüşümünün Tanımı
10.2.
Laplace Dönüşümünün Varlığı İçin Yeter Koşul
10.3.
Laplace Dönüşümünün Temel Özellikleri
10.4.
Periyodik Fonksiyonun ve Basamak Fonksiyonun Laplace Dönüşümü
10.5.
Dirak'ın Delta Fonksiyonu. Distribüsiyon Kavramı
10.6.
İki Fonksiyonun Konvolüsyon
10.7.
Ters Laplace Dönüşümü
10.8.
Ters Laplace Dönüşümünün varlığı,Tekliği ve Hesaplanması
10.9.
Laplace Dönüşümünün Yardımıyla Lineer Diferansiyel
Denklemlerin Çözümü
Onuncu
Bölüme Ait Problemler
Bölüm 11. diferansiyel
Denklemlerin Nitel Teorisine Giriş
11.0. Bölümün Amacı
11.1.
Faz Düzlemi ve Faz Eğrileri
11.2.
Faz Akımı
11.3.
Denge Noktaları. Vektör Alanları
11.4.
Liyapunof Anlamında Kararlı Çözümler
11.5.
Lineer Sistemlerin Faz Eğrileri
11.6.
Lineer Olmayan Sitemlerin Denge Noktaları ve Faz Eğrileri
11.7.
Matematiksel Sarkacın Faz Düzlemi ve Faz Eğrileri
11.8.
Limit Çevrimler. Bendikson ve Poinkare-Bendikson Teoremleri
Onbirinci Bölüme Ait Problemler
Diferansiyel Denklemler Teorisinin Kısa Tarihi
CEVAPLAR
KAYNAKÇA
Dizin
Temel bilimlerden bazı eserlerimiz:
Elektromagnetik Dalga Teorisi
Elektromagnetik Alan Teorisi
Lineer Cebir
Lineer Cebir Uygulamaları
Diferansiyel Denklem Teorisi
Cantor Kümeler Kuramı
Lojik Devre Tasarımı
Termodinamik ve İstatistiksel
Fizik
Ekolojik Sistemlerin Analiz,
Yönetimi ve Modellenmesi
Akademik
Kitaplar - Bilimsel Kitaplar - Üniversite Kitapları
|
